La asignación de probabilidades a los eventos es una tarea difícil  que muchos gerentes pueden mostrarse difícil a hacer, por lo menos con cierto grado de exactitud. En algunos casos prefieren decir “creo que la probabilidad de que este evento ocurra está entre 0.5 y 0.7”. Bajo estas circunstancias, como en cualquier aspecto de decisión gerencial, es útil realizar un análisis de sensibilidad para determinar cómo afecta a la decisión la asignación de probabilidades.

El análisis de sensibilidad concierne el estudio de posibles cambios en la solución óptima disponible como resultado de hacer cambios en el modelo original.

Definiciones generales del Análisis de sensibilidad

  Efecto neto.-  Es la ganancia o pérdida por unidad adicional de una variable que entra a la base. El efecto neto de una variable básica siempre será cero.

 f j = efecto neto

Ejemplo:  Realizar un análisis de sensibilidad para el siguiente modelo.

Maximizar:   Xo =  10X1 + 15X2 + 4X3 + 2X4

sujeto a:          10X1 + 20X2 + 2X3 + 3X4 <= 4,000
                        5X1 +   5X2 + 5X3 + 4X4 <= 1500
                        4X1 +   2X2 + 6X3 + 6X4 <= 800
         "    X1, X2, X3, X4  >= 0

Solución óptima del problema.
 

Base    Xo       X1    X2      X3      X4         X5      X6        X7             Sol.      Xo      1        0       0       7/3       5          2/3       0         5/6         3,333.33       X2      0        0       1     -13/5  -12/15     1/15      0       -1/6           400/3      X6      0        0       0      -1/3     -3/2       -1/6       1       -5/6           500/3       X1      0        1       0     29/15   19/10   -1/30     0         1/3            400/3

   Cambios en los coeficientes de la función objetivo.

El cambio en el Cj de una variable se interpretaría, por ejemplo,  como en incremento en el precio de un producto para un objetivo de maximización, o como la disminución en el costo de una materia prima para un objetivo de minimización.
Finalmente, se estudiará por separado si la modificación en el Cj es para una variable no-básica o para una básica, ya que las consecuencias en cada caso son muy diferentes.

  Cambios en el coeficiente Objetivo de una variable No-básica.

Es importante mencionar que una variación de Cj a Cj’ en el coeficiente objetivo de una variable no-básica, no necesariamente conlleva a una infracción de la inmejorabilidad de la solución óptima actual, aunque en ciertas ocaciones si lo haga. Por este motivo, se considerarán a continuación dos alternativas de cambio mutuamente exclusivas en el Cj de una variable no-básica.

(1) cuando  Cj’ < Cj (maximización)
en la solución óptima actual
 f j = Cj - Zj <= 0                 ==>                        f j = Cj’ - Zj < 0
Con lo cual la inmejorabilidad no se infringe. En consecuencia, se deduce que cuando el Cj’ < Cj en un problema de maximización, la solución óptima actual no se alterara, lo mismo en minimización con Cj’ > Cj.
 

(2) cuando  Cj’ > Cj (maximización)

Es claro que solamente  cuando el precio de la utilidad de una variable no-básica se incrementa, Cj’ > Cj, en un problema de maximización, surge la posibilidad de que se altere la inmejorabilidad  y por ende la optimidad actual.

  fj = Cj - Zj <= 0                 ==> Cj’ <= Cj -fj
o alternativamente, cuando        Cj’ <= Cj + I fj I

Es decir, si el nuevo Cj satisface la desigualdad, la actual solución permanece óptima; de lo contrario, debe calcularse el f j’ el cual será positivo, e introducirse Xj a la base para encontrar la nueva solución óptima.

Ejemplo:        Cambio en el Cj de una variable no - básica.

Para el problema dado.
a) determinar los rangos de variación en la utilidad unitaria de las variables no-básicas , tal que la solución óptima no se altere.

b)  Evaluar los efectos de un incremento en la utilidad unitaria del producto 3 de $4 a $5.

c)  Evaluar el efecto de de un aumento en la utilidad actual del producto 4 de $2 a $8.

a)       Cj’ <=Cj + I fi j I
C3’ <= 4 + I -7/3I  <= 19/3
C4’ <=2 + I -5I  <=  7
C5’ <= 0 + I -2/3I  <= 2/3
C7’ <= 0 + I -5/6I  = 5/6

b)  Dado C3’ = 5 = 15/3 satisface el límite máximo de 19/3, por lo tanto, el incremento no modifica la solución óptima actual.

C)  Ya C4’ = 8 sobrepasa el límite de incremento en C4, la solución óptima actual
cambiará. El nuevo f4 es

f4’ = C4’ - Z4 = 8 -7 = 1

y al ser positivo, X4 debe entrar a la base.
 
 

Base      Xo       X1    X2      X3      X4         S1       S2       S3         Sol.      Xo        1        0       0       7/3      -1          2/3        0        5/6      3,333.33       X2        0        0       1     -13/15  -12/15     1/15      0       -1/6         400/3      ------      X6        0        0       0      -1/3     -3/2       -1/6       1       -5/6         500/3      ------       X1        0        1       0    29/15   19/10     -1/30      0        1/3        400/3      4000/57

En este capítulo veremos que a cada problema de programación lineal se le asocia otro problema de programación lineal, llamado el problema de programación dual. La solución óptima del problema de programación dual, proporciona la siguiente información respecto del problema de programación original:
1.  La solución óptima del problema dual proporciona los precios en el mercado o los beneficios de los recursos escasos asignados en el problema original.
2.  La solución óptima del problema dual aporta la solución óptima del problema original y viceversa.
Normalmente llamamos al problema de programación lineal original el problema de programación primal.

Formulación del problema dual.

El problema dual es un problema de PL auxiliar que se define directa y sistemáticamente a partir del modelo de PL original o primal.
El problema de programación lineal bienen dado por:
             Maximizar   Z = C’X
                  sujeto a:     AX <= B
                                     X >= 0

su dual asociado es el problema de PL dado por:

Minimizar   Z’  = B’W
                  sujeto a:     AW<= C
                                      W >= 0
De lo anterior se deduce que el paso al dual se lleva a cabo teniendo presente las cuatro reglas siguientes:
a)   Los coeficientes de la i-ésima restricción para el problema primal pasan a ser los coeficientes de las variables Wi en las restricciones del problema dual. El problema dual tiene tantas variables como restricciones hay en el primal.
b)  Los coeficientes de las variables de decisión Xj en el problema primal pasan a ser los coeficientes de la restricción j-ésima en el problema dual. El problema dual tiene tantas restricciones como variables hay en el primal.
c)  Los coeficientes de la función objetivo en el problema primal pasan a ser los coeficientes del segundo miembro de las restricciones en el problema dual.
d)  Los coeficientes del segundo miembro de las restricciones del problema primal pasan a ser los coeficientes de la función objetivo del dual.

Primal
Ejemplo:      Maximizar :   Z = 60 X1 + 30 X2 + 20 X3
                    sujeto a:       8X1 +    6X2 +      X3 <= 48
                                       4X1 +    2X2 +  1.5X3 <= 20
                                       2X1 + 1.5X2 +  0.5X3 <= 8
                           "     X1, X2, X3 >=0
Dual:
Minimizar   Z’ = 48 W1 + 20 W2 + 8W3

sujeto a:   8W1 +  4W2  +   2W3 >= 60
                6W1 +  2W2 + 1.5W3 >= 30
                W1 + 1.5W2 + 0.5W3 >= 20
               "     W1, W2, W3>= 0

Relación de la solución óptima del problema dual con la solución óptima del problema primo.inicio

 Interpretación económica del problema dual.inicio

Precio Sombra.- Se define como la proporción con que mejora el valor de la función objetivo a partir de la  i - ésima  restricción, dependiendo si se trata de maximización tiende a aumentar y a disminuir cuando es de minimización.

La interpretación económica de la dualidad se basa directamente en la interpretación más frecuente del problema primal ( 16 ).
Interpretación del problema dual.
Para ver cómo la interpretación del problema primal conduce a una interpretación  económica del problema dual. Notese el valor de Z como:
Z = W1b1 + W2b2 + W3b3 + ... + Wmbm
donde cada  bi Wi puede interpretarse como la contribución a la ganancia por disponer de bi unidades del recurso i.
 Wi se interpreta como la contribución a la ganancia por unidad del recurso i  ( i  =  1 ,   2, . . . , m), cuando se usa el conjunto actual de variables básicas para obtener la solución primal.
ujeto a:
                                 unidades del
                      m        recurso i-ésimo              Valor unitario                Ganancia asignada
 j = 1,..., n  Suma      utlizados por           *      del recurso        =         a cada unidad de
                    i =1       unidad de la                     i-ésimo                     la actividad j-ésima
                                 actividad j-ésima
 
 

                          Valor unitario
 i - 1, ..., m    *   del recurso           >= 0
                              i-ésimo

Observaciones

Las restricciones j-ésima del dual indican que el valor total de los recursos consumidos para elaborar una unidad de la j-ésima actividad, debe ser al menos tan grande como la ganancia asignada a cada unidad de la actividad j-ésima.
A partir de lo visto anteriormente se puede interpretar el problema dual en los siguientes términos:
” Dados unos recursos bi y un límite inferior para la ganancia Cj, asignada a cada unidad de la actividad j-ésima ¿Qué valor, Wi, se debe asignar a cada unidad del recurso i-ésimo de forma que se minimice el valor total de los recursos?.”
EXPLICACION DE LA SOLUCION  PRIMAL-DUAL, DE NUESTRO EJERCICIO DE CONSTRUCCION DE MESAS Y SILLAS CON PIEZAS GRANDES Y PIEZAS CHICAS.
RECORDEMOS QUE NUESTRO MODELO ES:
MAX Z= $16X1+$10X2
s.a.
2X1+1X2  <=  6  Restricción de Piezas Grandes
2X1+2X2 <= 6  Restriccion de piezas Chicas
toda  X1, X2  >= 0

Cambios en los coeficientes de la función objetivo,
cambios en los recursos,
cambios en los coeficientes tecnológicos,
adición de una nueva variable y
adición de una nueva restricción.
 
 

C’Bk (S) =  CBk + Mínimo (Fj/aij   para aij<0 )

C’Bk (i) =  CBk + Máximo (Fj/aij   para aij >0 )

Donde:

C’Bk (S) = Limite superior de la variable básica
C’Bk (i) = Limite inferior de la variable básica
Fj = coeficiente de las variables no-básicas en la tabla óptima (renglón cj-zj)
aij = coeficientes tecnológicos de las  restricciones con respecto a la base
        y a las no básicas
CBk = coeficiente de la variable básica en el modelo original

Ci (s) = bi – max  (X,Sbi/µSi  para µSi < 0
Ci (i) = bi – min    (X,Sbi/µSi  para µSi > 0

Donde:
Ci (s) = Limite superior de la restricción i
Ci (i) = Limite inferior de la restricción i
bi = recurso disponible actual (modelo original)
X,Sbi = solución de las básicas de la tabla óptima
µSi  = coeficientes tecnológicos de las holguras en la tabla óptima